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Figuras de Lissajous (INS210)

Um dos recursos mais importantes na manutenção, reparação e ajuste de equipamentos eletrônicos é a visualização das grandezas que variam com o tempo em seus circuitos usando um osciloscópio. Para o caso específico da medida de frequências, amplitudes e fases com a ajuda do osciloscópio, é fundamental conhecer as figuras de Lissajous. Mais do que isso, elas também podem ser usadas com outras finalidades inclusive na geração de efeitos em editores de imagens tanto para a Internet como recursos multimídia. Neste artigo mostramos o que são as figuras de Lissajous, como podem ser geradas, para que servem e ainda como interpretar suas formas utilizando-as como poderosa ferramenta de diagnóstico eletrônico.

A maioria dos sinais elétricos com que trabalhamos possui uma forma de onda senoidal, conforme mostra a figura 1. Esta forma indica o modo como uma tensão ou uma corrente varia com o tempo. Esta figura é portanto traçada, colocando-se em sequência pontos cujas posições no eixo vertical depende da intensidade do sinal num instante que tem sua correspondência no eixo horizontal.

 

Um sinal elétrico senoidal.
Um sinal elétrico senoidal.

 

Qual é a origem desta forma de onda? O que significa realmente que um sinal tem uma forma de onda senoidal?

 

A SENOIDE

Imaginemos um ponto P que gira coim velocidade uniforme segundo uma trajetória perfeitamente circular, conforme mostra a figura 2.

 

Movimento circular uniforme (MCU) de um ponto P.
Movimento circular uniforme (MCU) de um ponto P.

 

Partindo do ponto O, podemos medir (ou indicar) a posição desse ponto por meio de um ângulo eu é formado pela linha que liga este ponto ao centro do círculo (sua trajetória) e pelo eixo de referência X, conforme mostra a figura 3.

 

Indicando a posição do ponto por meio de um ângulo 8.
Indicando a posição do ponto por meio de um ângulo 8.

 

Vemos então que a 1/4 de uma volta completa corresponde um ângulo de 90o e que a uma volta inteira corresponde um ângulo de 360o.

A indicação da posição do ponto a cada instante pode ser feita com o valor de um ângulo em graus.

Mas, essa não é a única forma de indicar a posição do ponto no movimento que ele realiza.

Levando em conta que o comprimento de uma circunferência é numericamente igual a duas vezes o seu raio multiplicado pelo fator PI (p) podemos medir a circunferência em "radianos", ou seja, em frações ou múltiplos de seu próprio raio.

Como a volta inteira corresponde a 2p radianos, podemos facilmente estabelecer relações desta grandeza com outros ângulos, conforme mostra a seguinte tabela:

 

90 graus = p/2 radianos

180 graus = p radianos

270 graus = 3p/2 radianos

360 graus = 2 p radianos

 

As duas unidades para a medida de ângulos ou da posição de um ponto numa circunferência são usadas em eletrônica e outras ciências como a matemática e a física.

Para nós é importante seguir com o nosso ponto em movimento e analisar o que ainda pode ocorrer.

Em cada instante do seu movimento podemos agora fazer uma projeção sobre o eixo Y (vertical) de modo a medir sua "altura" em relação ao eixo X. Esta distância, mostrada na figura 4, pode assumir valores positivos e negativos quando o ponto realiza uma volta completa na circunferência.

 

Figura 4 - O seno (sem) do ângulo 8 indica a posição de P e P'.
Figura 4 - O seno (sem) do ângulo 8 indica a posição de P e P'.

 

Se considerarmos o valor do raio da circunferência unitário (igual a 1), esta distância que depende do ângulo que determina a posição do ponto variará de -1 a +1 e a ela podemos associar uma grandeza denominada "seno" do ângulo, ou abreviadamente "sen"

Se em toda a volta do ponto anotarmos os senos dos ângulos correspondentes a um bom número de posições e colocarmos um lado do outro obtemos uma figura ondulada conforme mostra a figura 5.

 

Gerando a senóide a partir do MCU de P.
Gerando a senóide a partir do MCU de P.

 

Esta figura é chamada de "senoide" e nada mais é do que uma representção gráfica da projeção do movimento do ponto na circunferência sobre o eixo vertical ou eixo Y.

Passamos agora a um mundo que mais nos interessa que é o da eletrônica:

Vamos imaginar uma espira que corte o campo magnético de um imã em forma de ferradura, como num gerador o que é mostrado na figura 6.

 

A forma de onda da corrente gerada por uma espira que gira.
A forma de onda da corrente gerada por uma espira que gira.

 

Partindo da posição 1, a espira se move inicialmente no campo paralelamente às suas linhas de modo que neste instante a tensão gerada é nula. Uma fração de segundo depois, a espira já começa a curvar sua trajetória de modo a cortas as linhas do campo segundo ângulos eu vão aumentando até que em 2 ela já o faz perpendicularmente quando a indução é máxima.

A partir do ponto 2, a trajetória continua se curvando agora no sentido de que o ângulo entre seu movimento e as linhas de força vai diminuindo até que em 3 ela volta a cortar as linhas paralelamente. Neste trecho de 2 a 3 a tensão diminui.

A partir do ponto 3 novamente o ângulo segundo o qual a espira corta as linhas vai aumentando, mas agora no sentido oposto ao que ocorria anteriormente. A tensão induzida vai aumentando mas com polaridade oposta ao trecho inicial. Temos então a indução de uma tensão negativa que atinge seu máximo em 4. A partir do ponto 4 a tensão negativa vai reduzir até zero de modo a voltarmos a situação inicial como em 1.

Na volta completa da espira temos então a indução de um ciclo de uma tensão alternada cuja forma de onda representada na mesma figura é senoidal.

É importante observar que a variação da tensão representada tem uma forma muito bem definida que não deve ser confundida com duas "meia circunferências" conforme mostra a figura 7 e que nada tem a ver com a senoide.

 

A representaçaõ da senóide por semicírculo é errada.
A representaçaõ da senóide por semicírculo é errada.

 

Muitos circuitos oscilantes, como por exemplo os de duplo-T, LC e de deslocamento de fase podem gerar correntes que variam da mesma forma que a mostrada, ou seja, geram sinais senoidais.

Os osciloscópios são instrumentos que permitem visualizar a forma de onda de um sinal que seja aplicado na sua entrada vertical, conforme mostra a figura 8.

 

Observando um sinal senoidal num osciloscópio.
Observando um sinal senoidal num osciloscópio.

 

Um sinal interno de sincronismo cuja forma de variação é doenominada "dente de serra" combina-se com o sinal que deve ser observado e o resultado é mostrado na figura 9.

 

Combinando um sinal de sencronismo com o sinal a ser visualizado.
Combinando um sinal de sencronismo com o sinal a ser visualizado.

 

Observe que o sinal dente de serra quando combinado com qualquer outro tipo de sinal, resulta numa imagem que corresponde a este tipo de sinal. Este fato possibilita a observação de sinais de qualquer forma de onda no osciloscópio, o que torna este instrumento um dos mais úteis de toda a eletrônica.

Para nós é importante saber, entretanto, o que acontece se em lugar de combinarmos um sinal dente de serra com outro qualquer combinarmos dois sinais senoidais.

Podemos pensar nessa experiências não só levando em conta o uso de sinais elétricos mas também de qualquer fenômeno que varia segundo um padrão senoidal, como por exemplo a oscilação de pêndulos, dois movimentos circulares que se combinem, ondas sonoras, etc.

Vamos partir em nosso exemplo tomando duas circunferências que giram uma sobre a outra, conforme mostra a figura 10.

 

Combinação de dois MCUs.
Combinação de dois MCUs.

 

É justamente a composição de sinais senoidais como a que ocorre neste caso que nos leva a formação das denominadas Figuras de Lissajous.

 

As Figuras de Lissajous

Podemos pensar na composição das formas de onda senoidais como a sua mistura. É como se tivessemos um misturador (mixer) capaz de juntar dois sinais de caracteríisticas diferentes, obtendo-se um efeito final que é a sua combinação.

Podemos visualizar o que ocorre nde uma forma muito simples, usando para isso um osciloscópio imaginário inicialmente.

Aplicamos um dos sinais na entrada vertical e o outro sinal na entrada horizontal, desligando o sincronismo interno, conforme mostra a figura 11.

 

Usando dois geradores senoidais para observar Figuras de Lissajous no Osciloscópio.
Usando dois geradores senoidais para observar Figuras de Lissajous no Osciloscópio.

 

Vamos partir inicialmente de dois sinais de mesma frequência e mesma fase, como mostrado na figura 12, em que vamos analisar a formação da figura resultante ponto a ponto.

 

Sinais da mesma frequência e fase combinados.
Sinais da mesma frequência e fase combinados.

 

Tomamos em cada instante o ponto correspondente à intensidade de um sinal e também do outro, traçando linhas de projeção que se cruzarão determinando assim o local do espaço em que vai aparecer o ponto correspondente da imagem que vai ser gerada.

Numerando estes pontos podemos traçar a imagem completa que no caso é uma linha reta inclinada de 45 graus.

O que aconteceria, entretanto, se os sinais de mesma frequência estivessem defasados de 45 graus?

Dependendo da desfasagem, a figura gerada vai mudar de forma, adquirindo os formatos mostrados na figura 13.

 

Figuras para sinais da mesma frequência mas com fases diferentes.
Figuras para sinais da mesma frequência mas com fases diferentes.

 

Mas os desenhos mais interessantes se obtém quando as frequências dos sinais são diferentes, mas mantendo relações numéricas bem determinadas.

Se os sinais tiverem frequências que mantenham entre sí relações de números inteiros, como 2 para 1, 3 para 2, 5 para 4, etc, as figuras que serão formadas adquirem aspectos bastante interessantes.

Na figura 14 temos um exemplo de figura formada quando os sinais possuem uma relação de frequência de 2 para 1 sendo o sinal apliocado na varredura horizontal o que tem a frequência mais alta.

 

Combinando sinais com relação de frequências de 2 para 1.
Combinando sinais com relação de frequências de 2 para 1.

 

O mais importante é que através da simples observação de uma figura formada por dois sinais podemos descobrir muito de um se conhecermos o outro.

 

 

Para Saber Mais

Os leitores que tenham dificuldades em entender a "matemática" de nossas explicações ou que desejam ir além calculando o que vai resultar da combinaçãio de senoides de determinadas frequências podem procurar nos livrois de física informações no capitulo que que trata de "Composição de MHS ou Movimentos Harmônicos Simples".

 

 

Usando as Figuras de Lissajous Para Medidas de Sinais

Existem duas formas de se trabalhar com as Figuras de Lissajous para se medir amplitude, frequência e fase de sinais senoidais.

 

a) Sinal único

Com a ajuda de um gerador de sinais senoidais ligado a uma das entradas, podemos descobrir as características de qualquer sinal senoidal que seja aplicado na outra entrada,

Este fato torna as figuras de Lissajous um importante recurso para o diagnóstico de problemas em equipamentos ou ainda para a medida de frequências sem que para isso seja necessário usar um frequencímetro.

Para medir a frequência de um sinal usando as figuras de Lissajous o que precisamos fazer inicialmente é aplicar o sinal desconhecido numa das entradas do osciloscópio, por exemplo a vertical.

Na horizontal vamos lugar um gerador de sinais senoidais e ajustá-lo até que tenhamos uma figura estável em que possamos contar os lóbos ou protuberâncias formadas.

Vamos supor que, conforme mostra a figura 15 a figura formada tenha 3 lóbos na parte horizontal e dois lóbos na vertical.

 

Figura 15
Figura 15

 

Sabemos então que a relação de frequências para os sinais aplicados é de 3 para 2. Desta forma, se a frequência do sinal aplicado na varredura horizontal que serve como referência for de 1500 Hz, por exemplo, a frequência do sinal desconhecido é de 1000 Hz.

Veja então com o maior cuidado que o operador que está realizando as medidas deve ter é ir ajustando vagarosamente seu gerador de sinais para que possa encontrar uma posição em que a figura tenha poucos lóbos tanto na horizontal como na vertical e assim fique fácil contá-los.

Uma relação de frequências de 235 para 234 por exemplo não só tornaria praticamente impossível a contagem dos lóbos como também não poderia ser obtida com a devida estabilidade.

Na figura 16 temos diversas figuras que são formadas para relações de frequências mais comuns.

 

Algumas figuras com as relações de frequências.
Algumas figuras com as relações de frequências.

 

No caso específico dos sinais de mesma frequência quando obtemos retas, elípses ou circulos nas figuras, podemos medir também a defasagem do sinal, o que é outro recurso importante deste tipo de análise.

 

b) Dois sinais

Neste caso podemos usar as figuras de Lissajous para medir a fase entre eles. Basta aplicar os sinais nas entradas vertical e horizontal do osciloscópio (que terá o sincronismo interno desligado) e analisar a figura formada que pode ser qualquer uma das que são mostradas na figura 16.

 

 

No computador:

Os leitores com habilidades de programação podem escrever programas simples que gerem as figuras no monitor de seu computador. Estes programas podem ser interessantes tanto para o leitor aprender mais como para aulas práticas mostrando como serão as figuras resultantes da aplicação de frequências determinadas.

 

 

Conclusão:

Temos salientado em nossos artigos a importância do osciloscópio como instrumento de bancada. Não só para visualizar as formas de onda, medir amplitudes, o osciloscópio também tem ouras utilidades como as que descrevemos neste artigo.

O leitor que possui um osciloscópio deve se familiarizar com as Figuras de Lissajous e seu uso e mais do que isso deve praticar com seu uso.

Na industria, onde problemas de defasagens de sinais da rede de energia são importantes para se determinar o fator de potência por exemplo, o uso das Figuras de Lissajous se mostra em especial de grande utilidade eliminando assim a necessidade de outros equipamentos.

 

 

Aplicações Recreativas

Aplicando a um sistema oscilatório mecânico que movimenta um emissor de Laser ou então dois espelhos colocados em ângulo reto, é possível fazer com que o Laser se movimente segundo trajetórias que gerem as figuras de Lissajous. Com isso é possível projetar em anteparos essas figuras criando efeitos especiais em espetáculos de todos os tipos.

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